فرض کنید a,b,c اعداد صحيحي باشند كه معادله ax۲+bx+c=۰ داراي جواب گويا باشد. ثابت كنيد حداقل يكي از اعداد صحيح a,b,c بايد زوج باشد.
چند عدد 6 رقمی وجود دارد كه پس از حذف يكي از رقمهاي آن عدد 11122 حاصل شود؟
جواب:
دو حالت در نظر مي گيريم:
- رقم حذفی 1 يا 2 باشد. تعداد چنين اعداد 6 رقمي 7 تا بيشتر نيست: 111122و111212و111221و111222و112122و121122و211122
- رقم حذفي غير از 1 و 2 باشد. در اين صورت بايد در عبارت : ۲ـ۲-۱-۱-۱-- در هر يك از جاهاي خالي يكي از ارقام {9و8و7و6و5و4و3و0} را قرار دهيم. به وضوح تمام اعدادي كه به اين طريق حاصل ميشوند متمايزند و تعداد آنها برابر است با 6*8=48 . البته از بين اين اعداد يك عدد پذيرفته نيست. زيرا در جاي خالي اول نبايد صفر قرار گيرد. پس تعداد آنها 47 شد كه مجموعا ميشود 54 تا.
نوشته شده توسط فرشيد در یکشنبه سی و یکم تیر 1386 ساعت 5:29 PM | لینک ثابت |
به چند طريق مي توان در هر يك از خانه هاي يك جدول 3*3 يكي از اعداد 0 . 1 و 2 را نوشت به طوري كه مجموع اعداد در هر سطر و در هر ستون برابر 2 شود؟
ادامه مطلب
نوشته شده توسط فرشيد در شنبه دوم تیر 1386 ساعت 11:6 AM | لینک ثابت |
در يك صفحهي شطرنجي 
، 33 وزير را بهطور دلخواه قرار دادهايم. ثابت كنيد كه بين اين 33 وزير، 5 وزير وجود دارند كه 2 به 2 يكديگر را تهديد ميكنند!؟
، 33 وزير را بهطور دلخواه قرار دادهايم. ثابت كنيد كه بين اين 33 وزير، 5 وزير وجود دارند كه 2 به 2 يكديگر را تهديد ميكنند!؟منبع شبکه رشد
نوشته شده توسط فرشيد در سه شنبه بیست و یکم فروردین 1386 ساعت 4:40 PM | لینک ثابت |
(با عرض پوزش از آب نکردن)
کشتی دشمن در 3 مایلی شرق زیردریایی اتمی P قرار دارد و با سرعتی با نرخ یکنواخت به طرف شمال در حال حرکت است.
در این لحظه، موشکی مستقیماً بهطرف دشمن شلیک میشود.
سیستم هدایت موشک، آن را چنان کنترل میکند که در هر لحظه مستقیماً بهطرف هدف نشانه گرفته باشد.
اگر سرعت موشک دو برابر سرعت کشتی هدف باشد - که از تاکتیکهای فرار استفاده نمیکند - در این تعقیب و پیش از برخورد موشک به آن، چه مسافتی را طی خواهد کرد؟
منبع: شبکه رشد
نوشته شده توسط فرشيد در جمعه دهم فروردین 1386 ساعت 1:15 AM | لینک ثابت |
دریکی از شهرهای بزرگ جهان ، تعدادمشترکین تلفن ، 999 هزار و 991 نفر است . شرکت مخابرات ، همه ي این اسامی را در کتاب راهنمای تلفن نوشته و در اختیار همه ی مشترکین قرار داده است .
آیا می توانید بگویید این کتاب راهنمای تلفن دقیقا" چند صفحه ای است ؟ درصورتی که اولا" دراین کتاب، تعداد مشترکین نوشته شده در صفحات مختلف با هم مساوی اند ، ثانیا" تعداد صفحات کتاب مزبور از1000 کم تر است .
جواب در ادامه مطلب...
ادامه مطلب
نوشته شده توسط فرشيد در چهارشنبه شانزدهم اسفند 1385 ساعت 5:15 PM | لینک ثابت |
كرهي زمين را با خط استوا و دو نصفالنهار عمود بر هم به صورت زير به 8 قسمت تقسيم ميكنيم.
ميخواهيم با يك اتومبيل سواري از ايران به هر 8 منطقه يك بار سفر كنيم به طوريكه از هر قسمت فقط يك بار عبور كنيم و نهايتا به ايران بازگرديم. دقت كنيم كه حق مسافرت روي خط استوا يا دو نصفالنهار را نداريم.
به چند طريق اين مسافرت امكانپذير است؟
منبع: شبکه رشد
نوشته شده توسط فرشيد در جمعه یازدهم اسفند 1385 ساعت 3:30 PM | لینک ثابت |
نوشته شده توسط فرشيد در دوشنبه بیست و پنجم دی 1385 ساعت 5:4 PM | لینک ثابت |
5 مهره سفید و یکسان و 4 مهره سیاه و یکسان را در یک ردیف کنار هم چیده ایم. احتمال اینکه هیچ دو مهره سفیدی کنار هم نباشد چیست؟
نوشته شده توسط فرشيد در یکشنبه دوازدهم آذر 1385 ساعت 6:2 PM | لینک ثابت |
پدری از دو پسر تیزهوش خود می خواهد که هر کدام یک عدد انتخاب نمایند و بدون آنکه دیگری متوجه شود، عدد خود را به او بگویند. پدر بعد از شنیدن اعداد میگوید: حاصلضرب دو عددی که آنها انتخاب کرده اند، 8 یا 16 می باشد.
سپس از پسر بزرگتر سئوال می کند: " آیا میدانی عددی که برادرت انتخاب کرده است چند می باشد؟"
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچکتر همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچک مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ بازهم همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " می دانم! "
شما مي دانيد عددی که پسر کوچک انتخاب نموده است چند است؟
ادامه مطلب
سپس از پسر بزرگتر سئوال می کند: " آیا میدانی عددی که برادرت انتخاب کرده است چند می باشد؟"
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچکتر همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچک مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ بازهم همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " می دانم! "
شما مي دانيد عددی که پسر کوچک انتخاب نموده است چند است؟
......جواب در ادامه مطلب......
ادامه مطلب
نوشته شده توسط فرشيد در پنجشنبه بیست و پنجم آبان 1385 ساعت 5:17 PM | لینک ثابت |
یک عدد سه رقمی را بر 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 و 8 تقسیم کردیم، هر دفعه باقیمانده یک عدد درآمده. به نظر شما این چه عددی است که پس از هر تقسیم بر این اعداد همواره باقیمانده یکسان دارد؟
نوشته شده توسط فرشيد در جمعه سی و یکم شهریور 1385 ساعت 4:33 PM | لینک ثابت |
- به دنبال ایجاد سوء تفاهمی بین پادشاه و وزیر زیرک ، شاه دستور می دهد وزیر را در طول هفته آینده " در روزی که او نمی داند وی را در آن روز می کشند !" ، به قتل برسانند. وزیر پس از شنیدن این دستور ، کمی فکر می کند و سپس میگوید: شما هیچ روزی نمی توانید مرا بکشید!!! پادشاه از او میخواهد که شرح دهد طبق چه استدلالی جلادان نمیتوانند او را بکشند؟ اگر شما جای وزیر باهوش باشید چه پاسخی می دهید؟!!!
-> جواب: چون وزير اين استدلال را کرده بنابراين اطمينان دارد که در هيچ روزی کشته نمی شود. پس پادشاه هرروزی که بخواهد می تواند او را بکشد چون وزير مطمئن است طبق استدلال قبل که کشته نمی شود!
با فرض اين که شنبه اول هفته باشد؛ روز جمعه نمیتواند روز قتل وزير باشد. چرا که در اين صورت وزير روز قبل از آن (پنجشنبه)ميداند که فردا کشته خواهد شد و اين خلاف قول شاه است. با حذف روز جمعه اگر روز قتل پنجشنبه باشد وزير روز قبل يعنی چهارشنبه میداند که فردا کشته خواهد شد و اين خلاف قول شاه است. به اين ترتيب روز پنجشنبه هم حذف میشود. با استدلال مشابه روزهای ديگر هفته هم نمیتواند روز قتل وزير باشد. بنابراين در هيچ روزی پادشاه نمیتواند قول خود را عملی کند. احتمالا اين استدلال پادشاه است. ولی مشخص است که اين استدلال برخلاف ظاهر صحيح ان نمیتواند صحيح باشد و مثلا پادشاه میتواند روز دوشنبه سروقت وزير رفته و او را به قتل برساند بدون آنکه وزير از قتل خود خبر داشته باشد.
-> جواب: چون وزير اين استدلال را کرده بنابراين اطمينان دارد که در هيچ روزی کشته نمی شود. پس پادشاه هرروزی که بخواهد می تواند او را بکشد چون وزير مطمئن است طبق استدلال قبل که کشته نمی شود!
با فرض اين که شنبه اول هفته باشد؛ روز جمعه نمیتواند روز قتل وزير باشد. چرا که در اين صورت وزير روز قبل از آن (پنجشنبه)ميداند که فردا کشته خواهد شد و اين خلاف قول شاه است. با حذف روز جمعه اگر روز قتل پنجشنبه باشد وزير روز قبل يعنی چهارشنبه میداند که فردا کشته خواهد شد و اين خلاف قول شاه است. به اين ترتيب روز پنجشنبه هم حذف میشود. با استدلال مشابه روزهای ديگر هفته هم نمیتواند روز قتل وزير باشد. بنابراين در هيچ روزی پادشاه نمیتواند قول خود را عملی کند. احتمالا اين استدلال پادشاه است. ولی مشخص است که اين استدلال برخلاف ظاهر صحيح ان نمیتواند صحيح باشد و مثلا پادشاه میتواند روز دوشنبه سروقت وزير رفته و او را به قتل برساند بدون آنکه وزير از قتل خود خبر داشته باشد.
نوشته شده توسط فرشيد در شنبه بیست و هشتم مرداد 1385 ساعت 6:46 PM | لینک ثابت |
- فرض كنيد :
- ۱۰۰ نفر آدم با هوش در يك سالن زنداني هستند.
- حداقل يك نفر و حداكثر همه آنها داراي يك خال بر روي صورتشان هستند.
- هيچ كدام از اين افراد نمي دانند كه آيا خود داراي خال هستند يا نه.
- به آنها گفته شده كه به ازاي هر آدم خال دار يك شبانه روز ( نه كمتر و نه بيشتر) مهلت دارند كه آدم هاي خال دار از سالن بيرون بيايند.
- اين افراد نمي توانند هيچ ارتباطي با افراد ديگر موجود در سالن برقرار كنند.
- تنها ارتباط موجود ديدن صورت افراد ديگر است.
- به هيچ امكاني هم دسترسي ندارند كه صورت خود را ببينند.
- خلاصه پيغام و پيام و آينه و .... ممنوع است.
- تعداد افراد خال دار معلوم نيست.
سؤال : با چه روشي ممكن است كه فقط افراد خال دار در پايان مهلت تعيين شده (n روز به ازاي n خال دار) از سالن خارج شوند؟
جواب - > فرض کنین یه نفر تو قبیله خال داشته باشه. اون فرد خالدار بقیه قبیله رو میبینه که هیچ کس خالدار نیست ولی چون رییس قبیله گفته اینجور افراد حتما وجود دارند، نتیجه میگیره فقط خودش خالداره و همون روز اول خودش رو میکشه. از طرف دیگه بقیه افراد بدون خال میبینن یه نفر خال داره ولی خودشون نمیدونن خال دارن یا نه. مثل بالا برای خودشون استدلال میکنن که اگه خودشون خال نداشته باشن اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خودشون خال داشته باشن اون فرد ديگه امروز رو منتظر خواهد موند. اون فرد خالدار روز اول خودشو ميکشه و بقيه ميفهمن که خودشون خالدار نبودن. اين از يکی.
حالا برای دو نفر همين استدلال رو تکرار کنين. فرض کنين دو نفر تو قبيله خال دارن. اونی که خالداره ميبينه يه نفر تو قبيله خال داره ولی نميدونه خودش هم خال داره يا نه. با خودش ميگه اگه من خال نداشته باشم اون فرد خالدار بايد امروز خودش رو بکشه و اگر خال داشته باشم بايد منتظر بمونه. اون فرد ديگه هم همين جور استدلال ميکنه و هر دوشون روز اول رو کاری نميکنن و منتظر ميمونن. در نتيجه ميفهمن که هر دو تا خالدارن و روز دوم خودشون رو ميکشن. اما اونايی که خال ندارن ميبينن دو نفر تو قبيله خال دارن. اونا دو روز صبر ميکنن تا سرنوشت اين دو تا معلوم بشه و چون روز دوم اون دو نفر خودشون رو ميکشن ميفهمن که خودشون خال نداشتن.
به همین ترتیب میتونین برای سه نفر و چهار نفر و ... تکرار کنین استدلال رو. در نتیجه اگه n نفر خالدار باشن تا روز n-1 ام صبر ميکنن و بقيه که خال ندارن تا روز n ام. روز n ام افراد خالدار دسته جمعی خودشون رو ميکشن و از اينجا بقيه ميفهمن که خودشون خال ندارن. يعنی تا صبح روز n+1 فرد خالداری تو قبيله وجود نخواهد داشت. پس تو این قبیله ما 7 نفر خالدار بودن چون تا صبح روز هشتم دیگه فرد خالداری تو قبیله نبوده
نوشته شده توسط فرشيد در شنبه بیست و هشتم مرداد 1385 ساعت 6:42 PM | لینک ثابت |
فرض کنید a,b,c اعداد صحيحي باشند كه معادله ax۲+bx+c=۰ داراي جواب گويا باشد. ثابت كنيد حداقل يكي از اعداد صحيح a,b,c بايد زوج باشد.
حل: فرض كنيم a,b,c همگي فرد باشند و x=p/q كه p,q نسبت به هم اولند جواب گوياي معادله ax۲+bx+c=۰ باشد. با قرار دادن مقدار x و ضرب معادله در q۲ داريم ap۲+bpq+cq۲=۰ (*).
از آنجا كه فرض كرديم p,q نسبت به هم اولند هردوي آنها نمي توانند زوج باشند.
اگر p,q هر دو فرد باشند آنگاه با در نظر گرفتن فرض اولي كه a,b فردند در مي يابيم تمام جملات سمت چپ معادله * فرد مي باشد و در نتيجه سمت چپ عبارت فوق فرد مي شود كه تناقض است.
اكنون اگر دقيقا يكي از p,q فرد باشند آنگاه دقيقا ۲ جمله از ۳ جمله سمت چپ * زوج مي شود و در اين صورت مقدار سمت چپ باز هم فرد مي شود و در نتيجه دوباره به تناقض مي رسيم.
پس با فرض اول در هر حالت ممكن به تناقض مي رسيم، فرض خلف باطل و در نتيجه a,b,c همگي نمي توانند فرد باشند.
نوشته شده توسط فرشيد در شنبه بیست و هشتم مرداد 1385 ساعت 6:23 PM | لینک ثابت |
حل در ادامه مطلب......