دومین مقاله در مورد ریاضیات مصر باستان

اعداد مصري

چهارده مرداد

اعداد مثلثي

، 3، 6، 10، 15، 21 و ... بنظر شما این اعداد چه ویژگی مشترکی دارند؟ اگر دست به قلم نشویم و شکل نکشیم و آزمایش نکنیم، فهمیدن ارتباط میان آنها کمی دشوار است. به این شکل دقت کنید مشکل شما حل خواهد شد. به اعداد موجود در این سری، اعداد مثلثی می گوییم.

1 = 1
3= 1+2
6= 1+2+3
10= 1+2+3+4
15= 1+2+3+4+5
21= 1+2+3+4+5+6
. . .

اما شکل اول یک ایده جدید به ما می دهد که می توانیم این اعداد را همانند پاراگراف بالا نیز تفسیر کنیم.

به بیان دیگر می توان گفت که هرعدد مثلثی تشکیل شده است از حاصل جمع یکسری از اعداد متوالی طبیعی. به این معنی که اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبيعي، دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین معادل است با مجموع سه عدد از اعداد طبیعی و ... و بالاخره n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی که اگر رياضيات دبیرستان را هنوز فراموش نکرده باشید بخاطر خواهید آورد که مقدار این عدد معادل n(n+1)/2 خواهد بود. (یک  تصاعد حسابي ساده(

مجموع دو عدد مثلثی متوالی اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می شود. مثلا" 1+3=4 یا 3+6=9 یا 6+10=16 و ... البته دلیل آن ساده است به شکل دوم توجه کنید و ببینید که چگونه دو    مثلثقرمز و سبز روی هم تشکیل یک مربع را می دهند. (سعی کنید با استدلال ریاضی هم این موضوع را ثابت کنید، ساده است از همان رابطه بالا استفاده کنید.)

مطلب اخیر اغلب بصورت قضیه مربع هر عدد طبیعی برابر است با مجموع دو عدد مثلثی متوالی نیز مطرح می شود.

سوال

چند عدد 6 رقمی وجود دارد كه پس از حذف يكي از رقمهاي آن عدد 11122 حاصل شود؟

جواب:

دو حالت در نظر مي گيريم:

-         رقم حذفی 1 يا 2 باشد. تعداد چنين اعداد 6 رقمي 7 تا بيشتر نيست: 111122و111212و111221و111222و112122و121122و211122

-         رقم حذفي غير از 1 و 2 باشد. در اين صورت بايد  در عبارت : ۲ـ۲-۱-۱-۱--  در هر يك از جاهاي خالي يكي از ارقام {9و8و7و6و5و4و3و0} را قرار دهيم. به وضوح تمام اعدادي كه به اين طريق حاصل ميشوند متمايزند و تعداد آنها برابر است با 6*8=48 . البته از بين اين اعداد يك عدد پذيرفته نيست. زيرا در جاي خالي اول نبايد صفر قرار گيرد. پس تعداد آنها 47 شد كه مجموعا ميشود 54 تا.

سوال ( پس از ...)!

به چند طريق مي توان در هر يك از خانه هاي يك جدول 3*3  يكي از اعداد 0 . 1 و 2 را نوشت به طوري كه مجموع اعداد در هر سطر و در هر ستون برابر 2 شود؟

جواب در ادامه مطلب.....

عدد گویا به توان خودش

مطمئناً همه‌ي شما با اعداد گويا آشنا هستيد و درباره‌ي جبر آن‌ها مطالب زيادي شنيده‌ايد، از جمله اين كه جمع هر عدد گويا با خودش، عددي گويا و يا ضرب هر عدد گويا در خودش، عددي گويا است. امّا تا به حال از خود پرسيده‌ايد كه آيا هر عدد گويا به توان خودش لزوماً عددي گويا مي‌شود؟ يقيناً اگر عدد گوياي صحيح داشته باشيم اين حكم درست است امّا اگر عدد گوياي ما غير صحيح باشد چه طور؟ براي اين منظور حكم شگفت انگيز زير را دنبال كنيد:

حالت الف) 1عدد گوياي غير صحيحي باشد.]

چون 1 نوشت كه در آن 1

عدداوّل و هستند.چون 1=(a,b) پس و در نتيجه 1=(p,a) و لذا . با توجه به(*) چون پس (1).

چون1 [تجزيه به عوامل اوّل]و در نتيجه و با توجه به (1)، موجود است كه .چون 1=(c,d) پس   .توان p در تجزيه ي اعداد به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . پس توان p در تجزيه ي اعداد  به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . با توجه به(*) و اين كه تجزيه به عوامل اوّل يكتاست، نتيجه مي‌شود كه: بنابراين:                  

از طرفي با توجه به اين كه نتيجه مي‌شود كه . از دو رابطه ي اخير نتيجه مي‌شود: . (2)
اكنون توجه شما را به لم زير جلب مي‌كنيم:
لم: اگر p عددي اوّل و  دلخواه باشد آن‌گاه  .
اثبات لم: با استقراء‌ بر m . [جزئيات به عهده‌ي خواننده].

چون رابطه ي (2) و لم فوق با هم در تناقض هستند پس حالت الف) اتفاق نمي‌افتد.

حالت ب) 1=d .با مروري بر قسمت قبل، مي‌توان دريافت كه اين حالت نيز اتفاق نمي‌افتد.[به (*) توجه كنيد ].

اين بحث نشان مي‌دهد كه گنگ است و به اين ترتيب اين حكم شگفت انگيز اثبات مي‌شود.

منبع: سایت ریاضیدانان جوان (مورد توجه بعضی ها!)

اعداد اول

کش رفته شده از سایت ریاضیدانان جوان !!

از بعد چه میدانید؟

مثلث متساوی الاضلاعی را در نظر بگيريد. وسط های ضلع های آن را به هم وصل كنيد ومثلث متساوی الاضلاعی كه در وسط پديد می آيد را از آن حذف نمائيد .

اكنون سه مثلث متساوی الاضلاع باقی مانده در شكل را در نظر بگيريد ,وسط های ضلع ها را در هر مثلث به هم وصل كرده واز درون هر يك, مثلث متساوی الاضلاعی كه در وسط پديد مي آيد را حذف نمائيد .

با تكرار اين روش در دو گام بعدی اين شکل ها حاصل می شوند :

اگر اين فرآيند را تا بی نهايت تكرار كنيم شكل به دست آمده را مثلث سيرپينسكی گويند .

مـثلـث سـيــر پيـنـســكــی

اگر به شكل فوق دقت كنيم در می يابيم كه مثلث سيرپينسكي حاوی كپی هايی كوچك تر از خود است كه اين كپی ها هم اندازه بوده و آن را می سازند . مثلا" همان طور كه در شكل مشخص شده است مثلث سيرپينسكي حاوی 3 كپی كوچك تر از خود است كه اين كپی ها هم اندازه بوده و آن  را می سازند و اگر اين كپی ها را 2 برابر بزرگ كنيم بر مثلث سيرپينسكي منطبق خواهند شد .

در هندسه اين خاصيت را خود شبيهی و كپی های فوق را قطعه های خود شبيه و ميزانی كه كپی ها بايد بزرگ شده تا بر شكل  منطبق شوند را ضريب بزرگ نمايی گويند .

چند مثال ديگراز خود شبيهی :

    
عدد طبيعی و دلخواه را در نظر بگيريد.

پاره خط دلخواهی را در نظر بگيريد و آن را به N قسمت مساوی تقسيم نمائيد ,

كه در آن M=N عبارت است از تعداد قطعه های خود شبيه پاره خط .

مربع دلخواهی را در نظر بگيريد و هر ضلع آن را به N قسمت مساوی تقسيم نمائيد تا  قطعه خود شبيه مربع داشته باشيم .

( دو نمونه از اين شکل ها)

مكعب دلخواهی را در نظر بگيريد و هر يال آن را به N قسمت مساوی تقسيم نمائيد تا  قطعه خود شبيه مكعب داشته باشيم .

( حالت )

تعريف : برای شكل  هندسی دلخواهي كه خاصيت خود شبيهی دارد, بعد عبارت است از:

كه در آن Mبرابر تعداد قطعه های خود شبيه شكل با ضريب بزرگ نمايی N .

اين تعريف تصورهای قبلی ما مبنی بر اين كه پاره خط , مربع و مكعب به ترتيب  2,1 و3 بعدی هستند (چنان كه در فوق ديديم) را تائيد می كند .

حال بعد مثلث سيرپينسكی را محاسبه می كنيم :

كه تقريبا" برابر 58/1 است .


اگر به اين بحث علاقمند شديد , لازم است بدانيد كه  شکل های با خاصيت خود شبیهي  نقش انكارناپذيری در کامپیوتر, هنروپزشكی دارند .

مـراجـع :

1)http://math.rice.edu/ ~ lanius
2) Robert L .Devaney , BU Math. Home Page

سوال

منبع شبکه رشد

...

بدون شرح!!!!!!!!!

صورت سوال : x رو پیدا کنید

دانش آموز عزیز هم به خودشون زحمت دادن و x رو پیدا کردند!!!!!!!!!!!

منبع: شبکه رشد

برای دیدن بقیه به لینک رو به رو مراجعه کنید. http://www.roshd.ir/roshd/Default.aspx?tabid=290&EntryID=661&SSOReturnPage=Check&Rand=0

معما

(با عرض پوزش از آب نکردن)

کشتی دشمن در 3 مایلی شرق زیردریایی اتمی P قرار دارد و با سرعتی با نرخ یکنواخت به طرف شمال در حال حرکت است.
در این لحظه، موشکی مستقیماً به‌طرف دشمن شلیک می‌شود.
سیستم هدایت موشک، آن را چنان کنترل می‌کند که در هر لحظه مستقیماً به‌طرف هدف نشانه گرفته باشد.
اگر سرعت موشک دو برابر سرعت کشتی هدف باشد - که از تاکتیک‌های فرار استفاده نمی‌کند - در این تعقیب و پیش از برخورد موشک به آن، چه مسافتی را طی خواهد کرد؟

منبع: شبکه رشد

قضیه دایره مونژ

تاریخ ریاضیات

یک سوال ساده

دریکی از شهرهای بزرگ جهان ، تعدادمشترکین تلفن ، 999 هزار و 991 نفر است . شرکت مخابرات ، همه ي این اسامی را در کتاب راهنمای تلفن نوشته و در اختیار همه ی مشترکین قرار داده است .
آیا می توانید بگویید این کتاب راهنمای تلفن دقیقا" چند صفحه ای است ؟ درصورتی که اولا" دراین کتاب، تعداد مشترکین نوشته شده در صفحات مختلف با هم مساوی اند ، ثانیا" تعداد صفحات کتاب مزبور از1000 کم تر است .

جواب در ادامه مطلب...

تحقیق در عملیات

در جنگ جهانی دوم فرماندهی نظامی در انگلستان از گروهی از دانشمندان دعوتی بعمل آورد تا در مسائل سوق الجیشی و تدابیر جنگی مربوط به دفاع زمینی و هوایی این کشور مطالعه نمایند. هدف آنها تعیین موثرترین روش استفاده از منابع محدود نظامی بود. از جمله مسائلی که مورد بررسی قرار گرفت مطالعه کارایی بمب افکنهای نوع جدید و روش استفاده از راداری بود که به تازگی اختراع شده بود. تشکیل این گروه علمی به عناون اولین فعالیت رسمی تحقیق در عملیات به شمار آمده است.
نام تحقیق در عملیات ظاهراْ بدین مناسبت داده شده بود که این گروه به پژوهش در عملیات(نظامی) پرداخته بود. این رشته جدید تصمیم گیری از آغاز به عنوان رشته ای شناخته شده است که اطلاعات علمی را از طریق تلاش گروهی متخصص در نظامهای مختلف به منظور تعیین بهترین نحوه استفاده از منابع محدود به کار می گیرد.
نتایج امیدبخشی که توسط گروههای تحقیق در عملیات در بریتانیا به دست آمده بود فرماندهی نظامی ایالات متحده را بر آن داشت تا فعالیتهای مشابهی را شروع نماید. از فعالیتهای موفقیت آمیز گروههای آمریکایی می توان مطالعه مسائل پیچیده تدارکات نظامی٫ ابداع الگوهای جدید پرواز٫ طرح مین گذاری دریا و استفاده موثر از وسائل الکترونیکی را نام برد.
پس از جنگ موفقیت گروههای نظامی توجه مدیران صنعتی را به خود جلب کرد. اینان در جستجوی راه حلهایی برای مسائل خود بودند که بر اثر وارد شدن تخصص شغلی در تشکیلات تجاری روز به روز حادتر می شدند. زیرا با وجود این واقعیت که اصولا مشاغل تخصصی برای خدمت به هدف کلی یک سازمان به وجود می آیند٫ اهداف فردی این مشاغل ممکن است همواره با مقاصد آن سازمان سازگار نباشند. این وضع منجر به مسائل تصمیم گیری پیچیده ای شده است که نهایتا سازمان تجاری را مجبور نموده تا درصدد استفاده از موثرترین روشهای تحقیق در عملیات برآیند.
اگرچه پیشگامی تحقیق در عملیات به عنوان یک نظام جدید با بریتانیای کبیر بود چیزی نگذشت که رهبری این رشته به سرعت در حال رشد را ایالات متحده به دست گرفت. اولین تکنیک ریاضی در این رشته که مورد قبول همه قرار گرفت و روش سیمپلکس برنامه ریزی خطی نامیده شد در سال ۱۹۴۷ توسط ریاضیدان آمریکایی جورج.ب. دانتسیک به وجود آمد. ار آن به بعد با تلاشها و همکاریهای علاقه مندان در موسسات علمی و صنعتی تکنیکها و کاربردهای جدیدی پدید آمده اند.
تاثیر تحقیق در عملیات را امروزه می توان در بسیاری از زمینه ها مشاهده نمود. صحت این امر تعداد زیاد موسسات علمی است که دوره هایی در سطوح تحصیلی مختلف در این رشته عرضه می نمایند. در حال حاضر بسیاری از شرکتهای مشاور در مدیریت سرگرم فعالیتهای تحقیق در عملیات می باشند. این فعالیتها از کاربردهای تجاری و نظامی فراتر رفته و اکنون بیمارستانها٫ موسسات مالی٫ کتابخانه ها٫ طراحی شهرها٫٫ دستگاههای ترابری و حتی بررسیهای کشف جنایت را در برگرفته اند.

سفر به دور دنیا

كره‌ي زمين را با خط استوا و دو نصف‌النهار عمود بر هم به صورت زير به 8 قسمت تقسيم مي‌كنيم.

زیست شناس . فیزیکدان و ریاضیدان

یه ریاضیدان ویه فیزیکدان ویه زیست شناس توی یه قطارمسافرت می کردن.درمزرعه ای کنار ریل قطار یک گوسفند مشاهده شد.زیست شناس فریاد زد"همه گوسپندان اسکاتلندی سیاه هستند"

فیزیکدان اعتراض کرد"بگویید دراسکاتلند گوسفندان سیاهی وجوددارد"

ریاضیدان سرفه ای کرد(وبا نگاه عاقل اندرسفیه)وگفت"وجودداردمزرعه ای دراسکاتلند که درآن یافت میشود گوسفندی که حداقل یکطرف آن سیاه است"

معما

جواب در ادامه مطلب...

برندگان جایزه Wolf Foundation

ü «استفان ج. اسمیل» (Stephen J. Smale) از دانشگاه «کالیفورنیا» در «برکلی» ایالات متحده امریکا به‌خاطر مشارکت‌‌هایی گره‌گشا - که دارای نقشی اساسی در شکل دادن «توپولوژی دیفرانسیلی»، «سیستم‌های دینامیکی»، «اقتصاد ریاضی» و موضوع‌های دیگر در ریاضیات است – موفق به دریافت این جایزه شد.

ü برنده‌ی دیگر این جایزه، «هری فوراشتاینبرگ» (Harry Furstenberg) از دانشگاه «هبریو» (Hebrew) از «بیت‌المقدس» در اسرائل است که به‌خاطر مشارکت‌های عمیق و نقش گره گشا در «نظریه‌ی ارگودیک» (Ergodic Theory)، «دینامیک توپولوژی»، «آنالیز فضاهای متقارن» و «جریان‌های همگن» (Homogeneous Flows) این جایزه را تصاحب کرد.

توضیحات بیشتر در ادامه مطلب.......

یک تعارض منطقی

وزیر جمله ای را بیان کرد که تعارض پدید آورد یعنی گزاره ای که خود را نفی کند. وی در باسخ گفت: "  مرا به دار خواهید آویخت" . حال اگر این جمله را راست قبول کنند باید با تبر گردنش را بزنند که در این صورت جمله او دروغ است و باید به دار آویخته شود اما در این صورت راست گفته و...   به همین ترتیب اگر جمله وزیر را دروغ قبول کنند باز به تعارض بر می خورند. 

کنفرانس "آموزش معلمان و فناوری"

ادامه مطلب....

رقابت ریاضی در زمینه مدل سازی

معما

ريچارد به دروغگو حرفه اي است اون شش روز هفته دروغ ميگوید و فقط يه روز از هفته است كه حرف راست مي زند حالا شما با توجه به حرفاش بگيد اون چه روزي را راست ميگوید؟

روز اول:

من دوشنبه و سه شنبه دروغ مي گم

روز دوم:

امروز پنج شنبه يا شنبه يا يك شنبه است

روز سوم :

من چهار شنبه و جمعه دروغ مي گم

تعارض منطقی

نویسنده ای از اهالی کرت گفته است که همه اهالی کرت دروغگو هستند. اگر این ادعا قبول شود پس خود نویسنده نیز دروغگو است. در نتیجه اهالی کرت راستگویند لذا خود نویسنده راست گفته و اهالی کرت دروغگویند و...

جعبه لایتنر

یکی از روش های مؤثر یادگیری مطالب ،استفاده از جعبه لایتنر است.
در اینجا نحوه کار با این جعبه را توضیح می‌‌دهیم و امیدواریم شما با استفاده از این ابزار ساده و سودمند،بر یادگیری خود بیفزائید و در زمان محدودتر با کیفیت بهتر مطالب بیشتری را به خاطر بسپارید.

بقیه در ادامه مطلب..........................

تقسیم عادلانه

توجه کنید که داور بی طرفی که بتواند کیک یا نوشابه را مثلا با توجه به وزن به طور مساوی تقسیم کند وجود ندارد و تقسیم باید بوسیله خود n نفر که هر کدام سعی می‌کنند سهم بیشتری به دست آورند، انجام شود.در ضمن ممکن است ملاکی که هر کدام از افراد برای اندازه گرفتن 1/n کیک استفاده می‌کنند متفاوت باشد، مثلا یک نفر بر اساس مقدار خامه و دیگری بر اساس مقدار مربای کیک (که ممکن است به صورت متقارن هم پخش نشده باشند.) تصمیم می‌گیرد.

 منبع:  http://edu.tebyan.net/math/fair-division/02.htm

بقیه در ادامه مطلب.............

سوال

معما

مرد پولدار روزی به صفر میرود. و روزی که بر میگردد محافظ پولها به او میگوید: " وقتی در سفر بودید یک شب خواب دیدم شما در سفرتان با هوا پیما سقوط کرده و مجروح شدید وشما را به بیمارستان انتقال میدهند اما در بیمارسنان شما میمیرید" . و بلا فاصله مرد پولدار او را اخراج میکند .

چرا شخص پولدار محافظ را اخراج کرد؟

جواب در ادامه مطلب..... (اگر چه که نیازی به جواب نداره)

ضمنا اگر نظر هم بدید خوشحال میشم.

معما